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差分方程

三角形重心

问题描述

$A_{4}$ 是 $\Delta A_{1}, A_{2}, A_{3}$的重心坐标。 $ A_{5} $是 $ \Delta A_{2}, A_{3}, A_{4} $ 的重心坐标。$ A_{6} $ 是 $ \Delta A_{3}, A_{4}, A_{5} $的重心坐标。一直重复下去, 求这些三角形的重心坐标。

求解

clear;clc;
syms x1 x2 x3 y1 y2 y3 z1 z2 z3;
A1 = [x1 y1 z1];
A2 = [x2 y2 z2];
A3 = [x3 y3 z3];
for i=1:999
    Ax = (A1+A2+A3)/3;
    A1 = A2;
    A2 = A3;
    A3 = Ax;
end
vpa(A3,4)
%output: [0.1667*x1 + 0.3333*x2 + 0.5*x3, 0.1667*y1 + 0.3333*y2 + 0.5*y3, 0.1667*z1 + 0.3333*z2 + 0.5*z3]

即

$$A_x=[\frac{1}{6}x_1+\frac{1}{3}x_2+\frac{1}{2}x_3,\frac{1}{6}x_1+\frac{1}{3}x_2+\frac{1}{2}x_3,\frac{1}{6}x_1+\frac{1}{3}x_2+\frac{1}{2}x_3]$$

幼虫、蛹和成虫的数量

问题描述

许多情况下, 一个生物的生长会经历几个不同的阶段, 如粉甲虫会 经历幼虫, 蛹和成虫三个阶段。记第 $\mathrm{t}$ 个时间段幼虫、蛹和成虫的数量 分别为 $L(t), P(t), A(t)$ , 其中关系可以表示成

$$\begin{array}{l} L(t+1)=b A(t), \\ P(t+1)=\left(1-\mu_{L}\right) L(t), \\ A(t+1)=\left(1-\mu_{p}\right) P(t)+\left(1-\mu_{A}\right) A(t) \end{array}$$

其中$b$为成虫的生育率, $\mu_{L}, \mu_{p}, \mu_{A}$ 分别是三个阶段的死亡率。试问其后粉甲虫的数量会增加还是减少? 如果想要控制这种昆虫的数量, 应该采取什么样的策略?

符号方程求解

clear;clc;
%幼虫、蛹和成虫 初值a l p b 死亡率 ua ul up
syms A L P a l p b ua ul up;
A(1) = a;
L(1) = l;
P(1) = p;
for t=1:999
 L(t+1) = b*A(t);
 P(t+1)=(1-ul)*L(t);
 A(t+1) = (1-up)*P(t)+(1-ua)*A(t);
end
L(end)
P(end)
A(end)

推导

原方程组：

$$\begin{cases} L(t+1)=b A(t) \\ P(t+1)=\left(1-\mu_{L}\right) L(t), \\ A(t+1)=\left(1-\mu_{p}\right) P(t)+\left(1-\mu_{A}\right) A(t) \end{cases}$$

代入化简得

$$A(t+1)=b\left(1-\mu_{p}\right) \left (1-\mu_{L}\right ) A(t-1)+\left(1-\mu_{A}\right) A(t)\\$$

$$A(t)-\left(1-\mu_{A}\right) A(t-1)-b\left(1-\mu_{p}\right) \left (1-\mu_{L}\right ) A(t-2)=0$$

显然得到了一个差分方程，令

$$\begin{array}{l} m= -\left(1-\mu_{A}\right)\\ n=-b\left(1-\mu_{p}\right) \left (1-\mu_{L}\right ) \end{array}$$

特征方程

$$\lambda ^{2} +m\lambda +n= 0$$

解得

$$\begin{cases} \lambda_1 & = & -\frac{\mathrm{\mu_{A}}}{2}-\frac{\sqrt{\mathrm{\mu_{A}}^2-2\,\mathrm{\mu_{A}}+4\,b-4\,b\,\mathrm{\mu_{L}}-4\,b\,\mathrm{\mu_{p}}+4\,b\,\mathrm{\mu_{L}}\,\mathrm{\mu_{p}}+1}}{2}+\frac{1}{2}\\ \lambda_2 & = & -\frac{\mathrm{\mu_{A}}}{2}+\frac{\sqrt{\mathrm{\mu_{A}}^2-2\,\mathrm{\mu_{A}}+4\,b-4\,b\,\mathrm{\mu_{L}}-4\,b\,\mathrm{\mu_{p}}+4\,b\,\mathrm{\mu_{L}}\,\mathrm{up}+1}}{2}+\frac{1}{2} \end{cases}$$

成虫数量为：

$$A(t)=c_{1} \lambda _{1}^{t}+c_{2} \lambda _{2}^{t}$$

$c_1,c_2$应代入成虫初始值求得

药物含量问题

问题描述

某种药物每4个小时服用一次，每次服用的量为$A_0$ 。 设身体每四个小时由于代谢和吸收所消耗的药物与现存的量成正比，且比例系数为k(0,k,1) ,记第n个时段该患者体内药物的含量为x(n) ，计算x(n)及其极限。

求解

依题意：

$$\left\{\begin{array}{l} x_1=(1-k)x_0+A_0\\ x_2=(1-k)x_1+A_0\\ \dots\\ \end{array}\right.$$

则有：

$$x_n=(1-k)x_{n-1}+A_0$$

对应的齐次方程为：

$$x_n=(1-k)x_{n-1}$$

设解为$t^n$,则代入(2)得：

$$t^n=(1-k)t^{n-1}$$

则

$$t=1-k$$

一般解的形式为:

$$x_n=A(1-k)^n\text{(A为任意常数)}$$

又

$$x=(1-k)x_0$$

则

$$A=x_0$$

则

$$x_n=x_0(1-k)^n\quad (n=0,1,\dots)$$

对常值非齐次方程

$$x_n=(1-k)x_{n-1}$$

求其解：

$$x_n=B$$

代入(3)中得：

$$\left\{\begin{array}{l} B=(1-k) B+A_{0} \\ A_{0}=k B \\ B=\frac{A_{0}}{k} \end{array}\right.$$

则(3)的通解可表示为：

$$x_n=A(1-k)^n+\frac{A_0}{k}$$

又

$$x_0=A+\frac{A_0}{k}$$

则

$$A=x_0-\frac{A_0}{k}$$

则通解为：

$$x_n=(x_0-\frac{A_0}{k})(1-k)^n+\frac{A_0}{k}$$

下面求其极限：

因为

$$0<k<1$$

则

$$1-k<1$$

则

$$\lim\limits_{n\to \infty}(1-k)^n\to 0$$

则

$$\lim\limits_{n\to \infty}\to \frac{A_0}{k}$$

汉诺塔问题

问题描述

n个大小不同的圆盘按照半径的大小套在桩A上面，大下小上，现在要将这n个盘移动到空桩B或者C上，每次只能移动一个，且大下小上。移动过程中桩A亦可使用。设移动n个盘所需的次数为x(n) ，试建立关于x(n)的差分方程，并计算其值。

求解

对于移动n次：将上面n-1个盘子看成是特殊的一个盘子。
记录移动次数为

$$a_{n-1}$$

则

$$a_n=2a_{n-1}+1$$

解得

$$a_n=2^n-1$$