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高压油管的压力控制

燃油进入和喷出高压油管是许多燃油发动机工作的基础，图1给出了某高压燃油系统的工作原理，燃油经过高压油泵从A处进入高压油管，再由喷口B喷出。燃油进入和喷出的间歇性工作过程会导致高压油管内压力的变化，使得所喷出的燃油量出现偏差，从而影响发动机的工作效率。

问题一

题目

某型号高压油管的内腔长度为500mm，内直径为10mm，供油入口A处小孔的直径为1.4mm，通过单向阀开关控制供油时间的长短，单向阀每打开一次后就要关闭10ms。喷油器每秒工作10次，每次工作时喷油时间为2.4ms，喷油器工作时从喷油嘴B处向外喷油的速率如图2所示。高压油泵在入口A处提供的压力恒为160 MPa，高压油管内的初始压力为100 MPa。如果要将高压油管内的压力尽可能稳定在100 MPa左右，如何设置单向阀每次开启的时长？如果要将高压油管内的压力从100 MPa增加到150 MPa，且分别经过约2 s、5 s和10 s的调整过程后稳定在150 MPa，单向阀开启的时长应如何调整？

题解

题目给定燃油压力给定在100MPa,又已知燃油压力与弹性模量的关系以及燃油压力变化量和密度变化量的关系，求解得到燃油压力与密度的关系。据进出口的流量函数，可以推出计算出油管内燃油密度的变化规律，将问题转化为燃油密度优化问题。

对附录3 弹性模量与压力拟合

$$\mathrm{E}=0.029 \mathrm{P}^{2}+3.08 \mathrm{P}+1571.6$$

根据燃油的压力变化量与密度变化量成正比，可得

$$\frac{\mathrm{dP}}{\mathrm{d} \rho}=\frac{\mathrm{E}}{\rho}$$

已知条件当压力为100 MPa时，燃油的密度为0.850 mg/mm³，对方程连立求解

$$\begin{array}{l} \mathrm{P}=\frac{\rho-0.80853816}{0.001859637768-0.00170 \rho} \times 10^{-3} \\ \rho=0.80853816+0.80853816 \frac{0.0006 \mathrm{P}}{1+0.0017 \mathrm{P}} \end{array}$$

再求解管内燃油密度变化:

由流量计算公式

$$\mathrm{Q}=\mathrm{CA} \sqrt{\frac{2 \Delta \mathrm{P}}{\rho}}$$

可得燃油进出速度

$$\mathrm{v}(\mathrm{t})=\mathrm{CA} \sqrt{\frac{2 \Delta \mathrm{P}}{\rho}}$$

因此一个周期内燃油进入速度$\mathrm{I}(\mathrm{t})$和燃油喷出速度$\mathrm{O}(\mathrm{t})$为

$$\begin{array}{l} \mathrm{I}(\mathrm{t})=\left\{\begin{array}{ll} \mathrm{CA} \sqrt{\frac{2 \mathrm{P}_{1}(\mathrm{t})-\mathrm{P}_{2}(\mathrm{t})}{\rho_{1}}} & , \mathrm{t} \in\left(0, \mathrm{t}_{1}\right) \\ 0 & , \mathrm{t} \in\left(\mathrm{t}_{1}, \mathrm{~T}_{1}\right) \end{array}\right. \\ \mathrm{O}(\mathrm{t})=\left\{\begin{array}{ll} 100 \mathrm{t} & , \mathrm{t} \in(0,0.2) \\ 20 & , \mathrm{t} \in(0.2,2.2) \\ -100 \mathrm{t}+240 & , \mathrm{t} \in(2.2,2.4) \\ 0 & , \mathrm{t} \in\left(2.4, \mathrm{~T}_{2}\right) \end{array}\right. \end{array}$$

油管增加的质量为

$$\mathrm{m}_{1}(\mathrm{t})=\rho_{1} \mathrm{I}(\mathrm{t}) \Delta \mathrm{t}$$

油管减少的质量为

$$\mathrm{m}_{2}(\mathrm{t})=\rho_{2} \mathrm{O}(\mathrm{t}) \Delta \mathrm{t}$$

油管内质量变化

$$\mathrm{m}_{1}(\mathrm{t})-\mathrm{m}_{2}(\mathrm{t})=\rho_{1} \mathrm{I}(\mathrm{t}) \Delta \mathrm{t}-\rho_{2} \mathrm{O}(\mathrm{t}) \Delta \mathrm{t}$$

油管内密度变化

$$\rho_{2}(\mathrm{t}+\Delta \mathrm{t})-\rho_{2}(\mathrm{t})=\frac{1}{\mathrm{~V}}\left[\rho_{1} \mathrm{I}(\mathrm{t})-\rho_{2} \mathrm{O}(\mathrm{t})\right] \Delta \mathrm{t}$$

根据上式，问题转化为燃油密度优化问题：

$$\min \frac{\sum_{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{N}}\left|\mathrm{P}\left(\mathrm{t}_{\mathrm{k}}\right)-\mathrm{P}_{0}\right|}{\mathrm{N}}$$

题目已知单向阀每打开一次后就要关闭10ms，因此在这一个工作周期内找最优解，得到单向阀开启时间0.28752ms